跳至主要內容

JuMP求解MPC问题

Ai4Energy大约 3 分钟

JuMP求解MPC问题

!!! tip
Contents:JuMP、Control

Contributor: YJY

Email:522432938@qq.com

如有错误,请批评指正。

!!! note

[JuMP](https://jump.dev/JuMP.jl/v0.21.8/tutorials/Nonlinear%20programs/clnlbeam/)是计算优化问题的Julia软件包。

MTK中的OptimizationSystem、ControlSystem

通过MTK中的OptimizationSystem、ControlSystem构建MPC问题都是可行的,但是其一个致命的问题是,System会忽略约束!换一句话说,System只接受Loss方程。这是MTK优化体系不完善的地方。那么,Julia中较为成熟的优化包是JuMP、Optim和NLopt。JuMP的集成度比较好,在JuMP中可以根据不同的优化问题使用不同的求解器。所以尝试用JuMP解决。

实例:加热器问题

问题描述

现在有一个物体加热,它的温度由加热项和散热项决定。α是散热系数,β是加热系数,环境温度为ToutT_{out}。那么控制方程:

T=α(ToutT)+βQ(t) T' = α*(T_{out} - T) + β*Q(t)

现在可以改变加热功率,那么我们构建一个优化问题:调节加热功率,使得物体的温度从T0T_{0}开始,迅速上升并且稳定在某一个温度(比如说58℃)。问题的数学表达为,通过优化控制变量Q(t)Q(t) 使得损失函数最小:

Loss=i58.0T(ti) Loss = \sum_{i} ||58.0-T(t_i)||

构建问题

首先明确问题。现在假设以一个恒定功率(p=80)加热物体,环境温度18℃,初始温度20℃,散热系数α = 0.2,加热系数β = 0.1。先求解该问题。

using Plots,DifferentialEquations
Tout = 18.0
α = 0.2
β = 0.1
f(x,p,t) = α*(Tout - x) + β*p
tspan=(0.0,40.0)
u0 = 20.0
p = 80.0
pr = ODEProblem(f,u0,tspan,p)
sol = solve(pr)
plot(sol,ylimit=(10,60))

得到的结果是:
图 1

很清晰可以看到,温度缓慢上升最后稳定在58℃。那么作为我们拍脑袋的控制策略来说,这个控制问题很简单。我们可以先让功率在前期比较大(比如说150),等温度到了58℃附近,再把功率调回80,就可以实现“温度迅速上升并最后稳定在58度”。

优化求解

using JuMP,Ipopt
N = 40
Tout = 18.0
T0 = 20.0
dt = 8/N
Loss = 0.0
T = T0
α = 0.2
β = 0.1
model = Model(Ipopt.Optimizer)
@variable(model, 0 <= u[1:N] <= 200)
for i in 1:N
    global T = @expression(model,T + (α*(Tout - T) + β*u[i])*dt)
    global Loss += @expression(model,(T - 58.0)^2)
end
for i = 1:N-1
    @constraint(model,-5 <= u[i]-u[i+1] <= 5)
end
@objective(model, Min, Loss)
optimize!(model)
JuMP.value.(u)

u是符号量,离散的个数为N,上面选择离散为40个变量。通过一个for循环,就可以迭代求解40个点上的温度值并且构建Loss方程。同时添加约束,约束的物理含义是控制加热器功率的改变幅度不能太大,这里设置为(-5,5)。

PS:这里的离散方法,对微分方程求解来说实际上是最简单的欧拉法,精度有待提高,后退欧拉法,亚当斯方法,龙格库塔方法等等方法都可以用来构建Loss方程,只不过方程表达式会很复杂。

最后我们可以看到整个定义的问题。

print(model)

表达式非常复杂,就不放图了。

加热功率的变化为:

plot([(i -1)*dt for i in 1:N],value.(u))
图 2
图 2

温度的变化为:

图 3
图 3

调节约束

结果有些许波动,调一下功率变化的幅度限制,把约束范围调成(-10,10)

加热功率的变化为:

plot([(i -1)*dt for i in 1:N],value.(u))
图 1
图 1

温度的变化为:

图 4
图 4

比刚刚好多了!

上次编辑于:
贡献者: Mingtao Li